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TsReaper的博客

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日志

 
 

[题解]小a和uim之大逃离  

2015-07-02 23:28:30|  分类: 题解 |  标签: |举报 |字号 订阅

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[好题] 关键字:状态记录,模运算性质。

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        [洛谷1373]
        时间限制:1000ms  空间限制:131072kb

Background


        小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来,一片乌云从北部天边急涌过来,还伴着一道道闪电,一阵阵雷声。刹那间,狂风大作,乌云布满了天空,紧接着 豆大的雨点从天空中打落下来,只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物,低沉着声音说:“呵呵,既然你们来到这,只能活下来一个!”。小a和他的小伙伴都惊呆了!

Description


        瞬间,地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵,矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶,说道,你们可以从矩阵的任一个格 子开始,每次向右或向下走一步,从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液,下一步由uim吸收,如此交替下去,并且要求最后一步必须由uim 吸收。魔瓶只有k的容量,也就是说,如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零,如果装了k+2就只剩下1,依次类推。怪物还说道,最后谁的魔瓶装的魔液多,谁 就能活下来。小a和uim感情深厚,情同手足,怎能忍心让小伙伴离自己而去呢?沉默片刻,小a灵机一动,如果他俩的魔瓶中魔液一样多,不就都能活下来了吗?小a和他的小伙伴都笑呆了!
        现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

Input Format


        第一行,三个空格隔开的整数n,m,k;
  接下来n行,m列,表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

Output Format


        一个整数,表示方法数。由于可能很大,输出对1 000 000 007取余后的结果。

Sample Input #1


2 2 3
1 1
1 1

Sample Output #1


4

Hint


        样例解释:四种方案是:(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。
        对于20%的数据,n,m<=10,k<=2;
  对于50%的数据,n,m<=100,k<=5;
  对于100%的数据,n,m<=800,1<=k<=15.

        dp题。设f(i,j,x,y)表示走到(i,j)格时两人魔液差值为x,其中y=0表示小a走入(i,j),y=1表示uim走入。由题意可知,两人魔液差值在0~k之间。所以,我们可以得出状态转移方程:
        f(i,j,x,0) += f(i-1,j,(x-val) mod (k+1),1) + f(i,j-1,(x-val) mod (k+1),1)
        f(i,j,x,1) += f(i-1,j,(x+val) mod (k+1),0) + f(i,j-1,(x+val) mod (k+1),0)
        (其中val表示(i,j)的魔液量,为了不让自变量为负,(x-val) mod (k+1)可以写作(x-val+k+1) mod (k+1))。
        另外,由于小a可以从任何格子出发,所以有f(i,j,val,0) += 1,最后的答案就是符合x=0且y=1的f值之和。

        但是有个问题:只知道两个人的魔液差值为x,却不知道谁的魔液比较多,真的能解决问题吗?
        我们来看一个例子:
        假如k=5
        情况1:小a有5魔液,uim有1魔液。小a-uim = 4
        情况2:小a有2魔液,uim有4魔液。小a-uim = -2
        然后,小a获得了3魔液。
        对于情况1:小a的魔液变成了2,那么小a-uim = 1
        对于情况2:小a的魔液变成了5,那么小a-uim = 1
        发现两种情况最后的结果竟然是相同的!
        为什么呢?事实上,由于k+1 = 6,而 4 mod 6 = -2 mod 6 = 4,所以最后的结果是相同的。
        也就是说,当我们考虑魔液差值为4的状态时,事实上已经包括了两种可能:小a比uim多4,以及uim比小a多2。即:以上状态的表示方法已经包括了所有情况。那么,谁多谁少就不是问题了!

#include <stdio.h>
#define MOD 1000000007
int n,m,p;
unsigned int f[801][801][16][2],ans = 0;
int main()
{
    int i,j,k,x;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); p++;
    for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++)
    {
        scanf("%d",&x);
        f[i][j][x][0] = 1;
        for(k=0;k<p;k++)
        {
            f[i][j][k][0] = (f[i][j][k][0]+f[i-1][j][(k-x+p)%p][1]+f[i][j-1][(k-x+p)%p][1])%MOD;
            f[i][j][k][1] = (f[i][j][k][1]+f[i-1][j][(k+x)%p][0]+f[i][j-1][(k+x)%p][0])%MOD;
        }
        ans = (ans+f[i][j][0][1])%MOD;
    }
    printf("%u",ans);
    return 0;
}

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